汉诺塔,n皇后,跳马问题汇总—Tanky Woo

软件课讲了这些问题,这次顺便总结下。 

 说白了也就是:递归,回溯,深搜或者广搜。 

 1.汉诺塔 

 ////////////////////////////////////////////////
/*
汉诺塔
题目:
假设有A, B, C 3个轴,有n个直径各不相同,
从小到大依次编号为1,2,3,…,n的圆盘
按照从小到大的顺序叠放在A轴上。现在要求
将这n个圆盘移至C轴上并仍然按照同样顺序
叠放,但圆盘移动时必须遵守下列规则:
1.每次只能移动一个圆盘,它必须位于某个
  轴的顶部。
2.圆盘可以插在A,B,C中任一轴上。
3.任何时刻都不能将一个较大的圆盘压在较小
  的圆盘之上。
*/
/////////////////////////////////////////////// 

经典的问题,属于递归的入门级问题,但是同样不好分析,在n<=4以内还可以模拟下汉诺塔的实现,当n>=5时就不太现实了,让我们来看看汉诺塔当圆盘个数n时有多少组解? 按照传说来看:n=64,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。 

 但是这毕竟是神话,不过当把64个金片全部放到另外一根针时,确实要很长很长一段时间。 
让我们来看看需要多长时间。 
 首先,我们找出递推关系: 
 f(n + 1) = 2*f(n) + 1 
 至于这个怎么得到的可以画图看看。 
 把递推关系算出来后,也就是: 
 f(n) = 2^n-1 
 那么当n=64时,是多少? 
 f(64)= 2^64-1=18446744073709551615   
假如每秒钟一次,共需多长时间呢?一年大约有 31536926 秒,计算表明移完这些金片需要5800多亿年,比地球寿命还要长,事实上,世界、梵塔、庙宇和众生都已经灰飞烟灭。 

好吧,说了那么多,还是步入正题。
汉诺塔的实现有递归和非递归两种情况,递归的很常见,也很简单,非递归实际上就是二叉树的中序遍历。也可以认为是栈的实现。
递归的版本:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
/*递归实现*/
#include <iostream>
using namespace std;
 
//把n号圆盘从x移到y,并打印出。
void Move(int n, char x, char y)
{
  cout<< "把" << n << "号圆盘从" << x << "移动到" << y << endl;
}
 
//把前n个通过b从a移到c
void Hanoi(int n, char a, char b, char c)  
{
	if(n == 1)
		Move(1, a, c);
	else
	{
		Hanoi(n-1, a, c, b);
		Move(n, a, c);
		Hanoi(n-1, b, a, c);
	}
}
 
int main()
{
	int n;
	cout << "输入n的大小: ";
	cin >> n;
    Hanoi(n, 'a', 'b', 'c');
    cout << "Ok!" << endl << "By Tanky Woo." << endl;
    return 0;
}
非递归的版本有时间再补上:
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
这是非递归实现的二叉树的中序遍历:

 http://www.cppleyuan.com/viewthread.php?tid=650 


2.n皇后
对于每一个ACMer,八皇后问题都是必经之路。

 作为搜索类题目还是老问题: 

 1.边界条件。 
 2.对每种情况都得遍历到,可以用解答树分析。 
 3.剪枝 http://www.wutianqi.com/?p=1341(搜索与剪枝)
 4.辅助空间的变化。回溯前和回溯后的变化。 
 如果不用辅助空间的回溯当然就不需要注意辅助空间的问题了。 

以下是n皇后的源码: 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
/*
*  n皇后问题
*  Tanky Woo
*/
 
#include <iostream>
using namespace std;
 
int queen[100];
int n;         // n皇后
int tot = 0;   //解法种数
 
// www.wutianqi.com
void search(int cur)
{
	if(cur == n)   //递归边界。符合要求,输出。
	{
		tot++;
		for(int i=0; i<n; ++i)
			cout << queen[i] << " ";
		cout << endl;
	}
	else
	{
		for(int i=0; i<n; ++i)
		{
			bool flag = 1;
			queen[cur] = i;    // 尝试把第cur行的皇后放在第i列
			for(int j=0; j<cur; ++j)    // 检查是否和前面的皇后冲突
				if(queen[cur] == queen[j]        // 同一列
				|| cur-queen[cur] == j-queen[j]    // 正对角线
				|| cur+queen[cur] == j+queen[j])   // 反对角线
				{
					flag = 0;
					break;
				}
			if(flag)
				search(cur+1);    // 如果合法,继续
		}
	}
}
 
int main()
{
	cout << "输入皇后个数n: ";
	cin >> n;
	search(0);
	cout << "共有" << tot << "种解." << endl << "By Tanky Woo." << endl;
	return 0;
}

对于这个问题,还可以用辅助空间来提高算法的效率: 增加辅助空间vis[][]来判断是否有其他皇后已经在列和对角线上。 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
#include <iostream>
using namespace std;
 
int queen[100];
int n;         // n皇后
int tot = 0;   //解法种数
 
 
int vis[3][100];   // 辅助空间
void search(int cur)
{
	if(cur == n)   //递归边界。符合要求,输出。
	{
		tot++;
		for(int i=0; i<n; ++i)
			cout << queen[i] << " ";
		cout << endl;
	}
	else
	{
		for(int i=0; i<n; ++i)
		{
			if(!vis[0][i] && !vis[1][cur+i] && !vis[2][cur-i+n])
			{
				queen[cur] = i;
				vis[0][i] = vis[1][cur+i] = vis[2][cur-i+n] = 1;
				search(cur+1);
				vis[0][i] = vis[1][cur+i] = vis[2][cur-i+n] = 0;  //记住要变化来
			}
		}
	}
}
 
 
int main()
{
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	cout << "输入皇后个数n: ";
	cin >> n;
	search(0);
	cout << "共有" << tot << "种解." << endl << "By Tanky Woo." << endl;
	return 0;
}

3.跳马问题: 
据说此题证明可以用组合数学中的哈密顿环。
组合数学确实博大精深,看过一段时间的组合数学,感觉和实际联系的很多,Orz.
此题有两种版本: 

 ①:给定一个N*N的棋盘,起始点在(0,0)处,要求求出有多少种方法,可以不重复的遍历棋盘上所有的点。 
   规则:1.马走日字
           2.走过的点就不能再走了 

 此题和上面的n皇后类似,是标准的DFS。 
分析:从起始点开始,每次遍历八种方向,直到边界条件,并输出。 

以下是跳马问题一的源码: 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
/*马跳棋盘问题*/
 
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int a[N][N] = {0};
int cnt = 0;
 
void Horse(int a, int b, int t);
// www.wutianqi.com
int main()
{
    int i = 0, j = 0, t = 1;
    a[i][j] = t;
    Horse(i, j, step+1);
    cout << cnt << endl;
    cout << "By Tanky Woo.\n";
    return 0;
}
void Horse(int a, int b, int t)
{
    int x[4] ={-2, -1, 1, 2}, y[4] = {-2, -1, 1, 2};  
    if(t == N*N+1)  
        cnt++;
 
    for(int i=0; i<4; ++i)
        for(int j=0; j<4; ++j)
        {
            if(x[i]==y[j] || x[i]==-y[j])  
                continue;
            if(a+x[i]>=0 && a+x[i]<N && b+y[j]>=0 && b+y[j]<N && board[a+x[i]][b+y[j]]==0)
            {
                a[a+x[i]][b+y[j]] = t;
                Horse(a+x[i], b+y[j], t+1);
                a[a+x[i]][b+y[j]] = 0;
            }
        }
}

第二个版本: ②:设有右图所示的一个棋盘,在棋盘上的A点,有一个中国象棋的马,并约定马走的规则:
规则:1. 马走日字
        2. 马只能向右走。
试找出所有从A到B的途径。 
  

此题也是OI上很有名的骑士问题。
此题似乎比较适合BFS. 
还没尝试过。 
 


 
让我再想想,好像还有八数码和素数环问题没写。
不过在HDOJ上遇到过一个素数环的题目:
http://www.wutianqi.com/?p=1329
有兴趣可以做下。

对于DFS和BFS更多的题目,可以在我博客右上角搜索栏里输入DFS或BFS,会出来相应题目。  

发布者

Tanky Woo

Tanky Woo,[个人主页:https://tankywoo.com] / [新博客:https://blog.tankywoo.com]

《汉诺塔,n皇后,跳马问题汇总—Tanky Woo》有8个想法

  1. 最后一个跳马问题代码有点错误,改正如下:

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    21
    22
    23
    24
    25
    26
    27
    28
    29
    30
    31
    32
    33
    34
    35
    36
    
    #include <iostream>
    using namespace std;
    const int N = 8;
    int board[N][N] = {0};
    int cnt = 0;
     
    void Horse(int a, int b, int t);
    // www.wutianqi.com
    int main()
    {
        int i = 0, j = 0, step = 1;
        board[i][j] = step;
        Horse(i, j, step+1);
        cout << cnt << endl;
        cout << "By Tanky Woo.\n";
        return 0;
    }
    void Horse(int a, int b, int t)
    {
        int x[4] ={-2, -1, 1, 2}, y[4] = {-2, -1, 1, 2};  
        if(t == N*N+1)  
            cnt++;
     
        for(int i=0; i<4; ++i)
            for(int j=0; j<4; ++j)
            {
                if(x[i]==y[j] || x[i]==-y[j])  
                    continue;
                if(a+x[i]>=0 && a+x[i]<N && b+y[j]>=0 && b+y[j]<N && board[a+x[i]][b+y[j]]==0)
                {
                    board[a+x[i]][b+y[j]] = t;
                    Horse(a+x[i], b+y[j], t+1);
                    board[a+x[i]][b+y[j]] = 0;
                }
            }
    }

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注