《算法导论》学习总结 — 13. 第13章 红黑树(2)

插入结点用到了上一次BST的插入函数(做了一点添加),并且在此基础上增加了保持红黑性质的调整函数。

还是先看看插入函数:

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void RBTreeInsert(RBTree &T, int k)
{
	//T->parent->color = BLACK;
	Node *y = NULL;
	Node *x = T;
	Node *z = new Node;
	z->key = k;
	z->lchild = z->parent = z->rchild = NULL;
 
	while(x != NULL)
	{
		y = x;
 
		if(k < x->key)
			x = x->lchild;
		else
			x = x->rchild;
	}
 
	z->parent = y;
	if(y == NULL)
	{
		T = z;
		T->parent = NULL;
		T->parent->color = BLACK;
	}
	else
		if(k < y->key)
			y->lchild = z;
		else
			y->rchild = z;
	z->lchild = NULL;
	z->rchild = NULL;
	z->color = RED;
	RBInsertFixup(T, z);
}

和上一次的BST基本没区别,只是添加了对新加结点z的颜色和子节点的处理。

这里把z的颜色设置为红色,然后进行处理。

:考虑为何把z的颜色设置为红色

:个人认为如果设置为黑色,则破坏了性质五,而性质五关于黑高度的问题,涉及到了整棵树,全局性难以把握,所以这里设置为红色,虽然破坏了性质4,然是相对破坏性质5来说,更容易恢复红黑性质。大家如果有不同的想法,也可以留言谈谈。

接下来,就是对整棵树的调整了。

答:考虑插入z结点后,破坏的哪几条红黑性质?

答:破坏了性质2和性质4.

5条红黑性质要熟记,我这里再贴出来:

1. 每个结点或是红色,或是是黑色。
2. 根结点是黑的。
3. 所有的叶结点(NULL)是黑色的。(NULL被视为一个哨兵结点,所有应该指向NULL的指针,都看成指向了NULL结点。)
4. 如果一个结点是红色的,则它的两个儿子节点都是黑色的。
5. 对每个结点,从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

所以我们要做的就是恢复性质2和性质4.

先来看看具体实现的代码(这里只贴出部分代码):

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void RBInsertFixup(RBTree &T, Node *z)
{
	while(z->parent->color == RED)
	{
		if(z->parent == z->parent->parent->lchild)
		{
			Node *y = z->parent->parent->rchild;
			//////////// Case1 //////////////
			if(y->color == RED) 
			{
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				z = z->parent->parent;
			}
			else
			{
				////////////// Case 2 //////////////
				if(z == z->parent->rchild)
				{
					z = z->parent;
					LeftRotate(T, z);
				}
				////////////// Case 3 //////////////
				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				RightRotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
		else
		{
                                      ///////////////////////
		}
	}
	T->color = BLACK;
}

分三种情况,在代码中已用Case 1, Case 2, Case 3标记出。

大致说下判断情况:

1.首先让一个指针y指向z的叔父结点(z是要删除的结点)。

2.如果y的颜色是红色,Case 1。则使z的父亲结点和叔父结点的颜色改为黑,z的祖父结点颜色改为红。然后让z转移到z的祖父结点。

3.当y的颜色是黑色时,

①.首先判断z是否是其父亲结点的右儿子,若是,则调整为左儿子(用旋转)。

②.其次使z的父亲结点颜色为黑,z的祖父结点颜色为红,并以z的祖父结点为轴右旋。

具体我还是在草稿纸上画出。。。(可怜买不起数码相机,只能用手机拍了。。。)

rbt_charu1

rbt_charu2

rbt_charu3

(弱弱的问一句,看见网上有很多朋友做的一些代码讲解图很给力,不知道大家有什么软件吗?求推荐。。。)

以下是插入的完整代码:

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void RBInsertFixup(RBTree &T, Node *z)
{
	while(z->parent->color == RED)
	{
		if(z->parent == z->parent->parent->lchild)
		{
			Node *y = z->parent->parent->rchild;
			//////////// Case1 //////////////
			if(y->color == RED) 
			{
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				z = z->parent->parent;
			}
			else
			{
				////////////// Case 2 //////////////
				if(z == z->parent->rchild)
				{
					z = z->parent;
					LeftRotate(T, z);
				}
				////////////// Case 3 //////////////
				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				RightRotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
		else
		{
			Node *y = z->parent->parent->lchild;
			if(y->color == RED)
			{
				z->parent->color = BLACK;
				y->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				z = z->parent->parent;
			}
			else
			{
				if(z == z->parent->lchild)
				{
					z = z->parent;
					RightRotate(T, z);
				}
				z->parent->color = BLACK;
				z->parent->parent->color = RED;
				LeftRotate(T, z->parent->parent);
			}
		}
	}
	T->color = BLACK;
}
 
void RBTreeInsert(RBTree &T, int k)
{
	//T->parent->color = BLACK;
	Node *y = NULL;
	Node *x = T;
	Node *z = new Node;
	z->key = k;
	z->lchild = z->parent = z->rchild = NULL;
 
	while(x != NULL)
	{
		y = x;
 
		if(k < x->key)
			x = x->lchild;
		else
			x = x->rchild;
	}
 
	z->parent = y;
	if(y == NULL)
	{
		T = z;
		T->parent = NULL;
		T->parent->color = BLACK;
	}
	else
		if(k < y->key)
			y->lchild = z;
		else
			y->rchild = z;
	z->lchild = NULL;
	z->rchild = NULL;
	z->color = RED;
	RBInsertFixup(T, z);
}

下一篇是关于红黑树的删除。

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