《算法导论》学习总结 — 16.第15章 动态规划(1) 基本入门

第十四章我想放在后面再看,先搁下。希望大家总结的一些文章也能向我推荐下,大家互相学习。

首先,还是建议看看前言:http://www.wutianqi.com/?p=2298

其次,阿门,感谢老天送给了我们这么一本圣经,看了这一章,再次感受到了《算法导论》分析问题的精辟,强悍的魅力。Orz, Orz,各种Orz。

这一章讲的是动态规划,学算法的朋友,尤其是搞ACM的,对这个策略一定非常熟悉,所以这个算法网上的分析讲解教程也是铺天盖地,大家可以多搜几篇学习学习。

动态规划(Dynamic Programming,简称DP)是通过组合子问题的解来解决问题的。

注意这里的programming不是指编程,而是指一种规划

因为DP用的太广泛了,并且书上也花了很大的篇幅来讲这一章,所以我也准备把这一章分几篇来总结,并且我不按照书上的顺序来总结,也不会全部用书上的例子。

这一章首先给出一些基础的概念,然后给出一个最基础入门的DP问题,三角形求值问题。

DP适用于子问题不是独立的情况,这样如果用分治法,也会作许多重复的工作,而DP只对子问题求解一次,将其结果保存在一张表中,从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算的情况。

比较分治法于动态规划的区别:

分治法:将问题划分为一些独立的子问题,递归的求解各子问题,然后合并子问题的解而得到原问题的解。

eg.

MERGE-SORT(A, p, r)
1 if p < r
2   then q ← |(p + r)/2|
3        MERGE-SORT(A, p, q)
4        MERGE-SORT(A, q + 1, r)
5        MERGE(A, p, q, r)
动态规划适用于子问题不是独立的情况,也就是各子问题包含公共的子子问题,鉴于会重复的求解各子问题,DP对每个问
只求解一遍,将其保存在一张表中,从而避免重复计算。

DP算法的设计可以分为四个步骤

①.描述最优解的结构。

②.递归定义最优解的值。

③.按自底而上的方式计算最优解的值。

④.由计算出的结果创造一个最优解。

下面来看看三角形求值这个问题:

将一个由N行数字组成的三角形,如图所以,设计一个算法,计算出三角形的由顶至底的一条路径,使该路径经过的数字总和最大。

sanjiaoxing

这是在我见过的DP题目中,算是最简单的了,我相信就算没有学过DP的也会。

将上图转化一下:

sanjiaoxing2

假设上图用map[][]数组保存。

令f[i][j]表示从顶点(1, 1)到顶点(i, j)的最大值。

则可以得到状态转移方程:

f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + map[i][j]

此题既适合自顶而下的方法做,也适合自底而上的方法,

当用自顶而下的方法做时,最后要在在最后一列数中找出最大值,

而用自底而上的方法做时,f[1][1]即为最大值。

所以我们将图2根据状态转移方程可以得到图3:

sanjiaoxing3

最大值是30.

很简单的DP题,代码如下:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
/*
Author: Tanky Woo
Blog:   www.WuTianQi.com
Description: 动态规划之三角形求值问题
*/
#include <iostream>
using namespace std;
 
int map[6][6] = 
{
	{0, 0, 0, 0, 0, 0},
	{0, 7, 0, 0, 0, 0},
	{0, 3, 8, 0, 0, 0},
	{0, 8, 1, 0, 0, 0},
	{0, 2, 7, 4, 4, 0},
	{0, 4, 5, 2, 6, 5}
};
 
int f[6][6];
 
int _max(int a, int b)
{
	if(a >= b)
		return a;
	return b;
}
 
int main()
{
	memset(f, 0, sizeof(f));
	for(int i=0; i<6; ++i)
		f[5][i] = map[5][i];
	for(int i=4; i>=1; --i)
		for(int j=1; j<=i; ++j)
			f[i][j] = _max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + map[i][j];
	for(int i=1; i<=5; ++i)
	{
		for(int j=1; j<=5; ++j)
		{
			cout.width(2);
			cout << f[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	cout << f[1][1] << endl;
}

结果如图:

sanjiaoxing4

下一篇会将装配线的调度。

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Tanky Woo

Tanky Woo,[个人主页:https://tankywoo.com] / [新博客:https://blog.tankywoo.com]

《《算法导论》学习总结 — 16.第15章 动态规划(1) 基本入门》有144个想法

  1. 博主,问下那个状态方程是怎么回事呢?我怎么也不能理解f[i][j]的实际意义与状态方程的关系,我在别的博文上面看到的解释和你的解释不一样啊,但是你们的方程都一样的。

  2. 呵呵 好深奥的文章 大学数学学的没你好啊 转载了

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