Blog·Tanky WooABOUTRSS

最短路径算法—Floyd(弗洛伊德)算法分析与实现(C/C++)

17 Jan 2011
这篇博客是从旧博客 WordPress 迁移过来,内容可能存在转换异常。

上一篇讲过Dijkstra算法: http://www.wutianqi.com/?p=1890

Floyd-Warshall算法,简称Floyd算法,用于求解任意两点间的最短距离,时间复杂度为O(n^3)。

使用条件&范围 通常可以在任何图中使用,包括有向图、带负权边的图。

Floyd-Warshall 算法用来找出每对点之间的最短距离。它需要用邻接矩阵来储存边,这个算法通过考虑最佳子路径来得到最佳路径。

1.注意单独一条边的路径也不一定是最佳路径。 2.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,或者无穷大,如果两点之间没有边相连。 对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。 3.不可思议的是,只要按排适当,就能得到结果。 伪代码:

// dist(i,j) 为从节点i到节点j的最短距离
For i1 to n do
   For j1 to n do
      dist(i,j) = weight(i,j) 

For k1 to n do // k为“媒介节点”
   For i1 to n do
      For j1 to n do
         if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路径?
            dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)

我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下:

void Floyd(){
     int i,j,k;
     for(k=1;k<=n;k++)
         for(i=1;i<=n;i++)
             for(j=1;j<=n;j++)
                 if(dist[i][k]+dist[k][j]动画演示Floyd算法】。

代码说明几点:

1A[][]数组初始化为各顶点间的原本距离,最后存储各顶点间的最短距离。

2path[][]数组保存最短路径,与当前迭代的次数有关。初始化都为-1,表示没有中间顶点。在求A[i][j]过程中,path[i][j]存放从顶点vi到顶点vj的中间顶点编号不大于k的最短路径上前一个结点的编号。在算法结束时,由二维数组path的值回溯,可以得到从顶点vi到顶点vj的最短路径。

初始化A[][]数组为如下,即有向图的邻接矩阵。

[![](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2011/01/floyd1.jpg)](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2011/01/floyd1.jpg)

完整的[**实现代码**](http://www.wutianqi.com/?p=1903 )如下:

```cpp

#include 
#include    
#include    
using namespace std;   
#define MaxVertexNum 100   
#define INF 32767   
typedef struct  
{   
    char vertex[MaxVertexNum];   
    int edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];   
    int n,e;   
}MGraph;   

void CreateMGraph(MGraph &G;)   
{   
    int i,j,k,p;   
    cout<<"请输入顶点数和边数:";   
    cin>>G.n>>G.e;   
    cout<<"请输入顶点元素:";   
    for (i=0;i>G.vertex[i];   
    }   
    for (i=0;i>i>>j>>p;   
        G.edges[i][j]=p;   
    }   
}   
void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n);

void Floyd(MGraph G)
{
    int A[MaxVertexNum][MaxVertexNum],path[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
    int i,j,k;
    for (i=0;iA[i][k]+A[k][j])
                {
                    A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                    path[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    Dispath(A,path,G.n);
}

void Ppath(int path[][MaxVertexNum],int i,int j)
{
    int k;
    k=path[i][j];
    if (k==-1)
    {
        return;
    }
    Ppath(path,i,k);
    printf("%d,",k);
    Ppath(path,k,j);
}

void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n)
{
    int i,j;
    for (i=0;i路径长度:%d路径:",i,j,A[i][j]);
                printf("%d,",i);
                Ppath(path,i,j);
                printf("%d\n",j);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    freopen("input2.txt", "r", stdin);
    MGraph G;
    CreateMGraph(G);
    Floyd(G);
    return 0;
}

测试结果如下:

本文主要来至网上资料各种杂糅:

1.http://www.cnblogs.com/MiYu/archive/2010/09/25/1834826.html

2.http://blog.csdn.net/akof1314/archive/2009/08/09/4424946.aspx

3.http://www.nocow.cn/index.php/Floyd-Warshall%E7%AE%97%E6%B3%95