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《算法导论》学习总结 — 14. 第13章 红黑树(3)

05 May 2011
这篇博客是从旧博客 WordPress 迁移过来,内容可能存在转换异常。

这一篇是关于红黑树的结点删除。

依然和上一篇的插入一样,先用到了BST的删除结点函数,然后做相应的调整。

不过,这里的调整思路颇为新颖。

还是来看看略微改变后的删除结点函数:

Node* RBTreeDelete(RBTree T, Node *z)
{
    Node *x, *y;
    // z是要删除的节点,而y是要替换z的节点
    if(z->lchild == NULL || z->rchild == NULL)   
        y = z;   // 当要删除的z至多有一个子树,则y=z;
    else
        y = RBTreeSuccessor(z);  // y是z的后继
    if(y->lchild != NULL)
        x = y->lchild;  
    else
        x = y->rchild;
    // 无条件执行p[x] = p[y]
    x->parent = y->parent;  
    if(y->parent == NULL)   
        T = x;
    else if(y == y->parent->lchild)   
        y->parent->lchild = x;
    else
        y->parent->rchild = x;
    if(y != z)
        z->key = y->key;
    if(y->color == BLACK)
        RBDeleteFixup(T, x);
    return y;
}

注意代码倒数第二和第三行,只有当后继结点y的颜色是黑色时,才做调整。

由此,引导出几个问题:

1.问:考虑为何当y的颜色是黑色时,才调整?当y的颜色是红黑时,会不会破坏性质4?

  答:这里我一开始纠结了,后来反复看了几次BST的删除,再算想通。在BST中,删除结点z,并不是真的把z给移除了,其实删除的不是z,而是y!因为z始终没有动过,只是把y删除了,然后把y的key赋值给z的key。所以,在红黑树中,z的颜色没有变,依然符合红黑性质。(这里我先开始理解为y->color也要赋值给z->color,汗。。。)

2.问:考虑y为黑色时,破坏了哪几条红黑性质?

   答:当y是根时,且y的一个孩子是红色,若此时这个孩子成为根结点。--------->破坏了性质2

        当x和p[y]都是红色时。                                                    --------->破坏了性质4

        包含y的路径中,黑高度都减少了。                                      --------->破坏了性质5

解决方法:

上一篇我解释过,性质五涉及到了整棵树,难以控制。

因此将x的颜色增加一重黑色,那么当:

①.x原先颜色为RED时------->x包含RED和BLACK两颜色

②.x原先颜色是BLACK时----->x包含BLACK, BLACK两颜色。

此时性质5解决,但是又破坏了性质1.

接下来就是恢复性质1,2,4了。

将额外的一重黑色一直沿树向上移,直到x是根或者是红色结点。

看看具体的实现代码:

void RBDeleteFixup(RBTree &T;, Node *x)
{
    while(x != T && x->color == BLACK)
    {
        if(x == x->parent->lchild)
        {
            Node *w = x->parent->rchild;
            ///////////// Case 1 /////////////
            if(w->color == RED)
            {
                w->color = BLACK;
                x->parent->color = RED;
                LeftRotate(T, x->parent);
                w = x->parent->rchild;
            }
            ///////////// Case 2 /////////////
            if(w->lchild->color == BLACK && w->rchild->color == BLACK)
            {
                w->color = RED;
                x = x->parent;
            }
            else
            {
                ///////////// Case 3 /////////////
                if(w->rchild->color == BLACK)
                {
                    w->lchild->color = BLACK;
                    w->color = RED;
                    RightRotate(T, w);
                    w = x->parent->rchild;
                }
                ///////////// Case 4 /////////////
                w->color = x->parent->color;
                x->parent->color = BLACK;
                w->rchild->color = BLACK;
                LeftRotate(T, x->parent);
                x = T;
            }
        }
        else
        {
            Node *w = x->parent->lchild;
            if(w->color == RED)
            {
                w->color = BLACK;
                x->parent->color = RED;
                RightRotate(T, x->parent);
                w = x->parent->lchild;
            }
            if(w->lchild->color == BLACK && w->rchild->color == BLACK)
            {
                w->color = RED;
                x = x->parent;
            }
            else
            {
                if(w->lchild->color == BLACK)
                {
                    w->rchild->color = BLACK;
                    w->color = RED;
                    LeftRotate(T, w);
                    w = x->parent->lchild;
                }
                w->color = x->parent->color;
                x->parent->color = BLACK;
                w->lchild->color = BLACK;
                RightRotate(T, x->parent);
                x = T;
            }
        }
    }
    x->color = BLACK;
}

对于删除的调整,共八种情况(左右对称各四种),这里在书上P175面讲的很详细,所以我也就不再画图了,大家可以自己拿起笔在草稿纸上画一画。

Tanky Woo 标签: 红黑树Red Black Tree