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最大流 --- Edmond Karp算法

19 Jan 2012
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Edmond Karp算法的大概思想:

反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径,若有,找出增广路径上每一段[容量-流量]的最小值delta,若无,则结束。

在寻找增广路径时,可以用BFS来找,并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。

而找到delta后,则使最大流值加上delta,更新为当前的最大流值。

(粗体表明需要掌握的概念)

关于反向边:

以下摘至HDOJ的课件和网上的:

首先来看一下基本的网络流最大流模型。

有n个点,有m条有向边,有一个点很特殊,只出不进,叫做源点,通常规定为1号点。另一个点也很特殊,只进不出,叫做汇点,通常规定为n号点。每条有向边上有两个量,容量和流量,从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。通常可以把这些边想象成道路,流量就是这条道路的车流量,容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的,流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说,可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站,所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。

把源点比作工厂的话,问题就是求从工厂最大可以发出多少货物,是不至于超过道路的容量限制,也就是,最大流。

比如这个图。每条边旁边的数字表示它的容量。

1 下面我们来考虑如何求最大流。

首先,假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量),那么就把这一组流量,或者说,这个流,称为一个可行流。一个最简单的例子就是,零流,即所有的流量都是0的流。

我们就从这个零流开始考虑,假如有这么一条路,这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点,并且,这条路上的每一段都满足流量<容量,注意,是严格的<,而不是<=。那么,我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值 delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta,一定可以保证这个流依然是可行流,这是显然的。

这样我们就得到了一个更大的流,他的流量是之前的流量+delta,而这条路就叫做增广路。

我们不断地从起点开始寻找增广路,每次都对其进行增广,直到源点和汇点不连通,也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候,当前的流量就是最大流,这个结论非常重要。

寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs,并不断修改这条路上的delta量,直到找到源点或者找不到增广路。

这里要先补充一点,在程序实现的时候,我们通常只是用一个c数组来记录容量,而不记录流量,当流量+1的时候,我们可以通过容量-1来实现,以方便程序的实现。

先来看看BFS部分的代码(C/C++实现):

[code language="cpp"] // 用BFS来判断从结点s到t的路径上是否还有delta // 即判断s,t之间是否还有增广路径,若有,返回1 bool BFS(int s, int t) { queue que; memset(pre, -1, sizeof(pre)); memset(vis, false, sizeof(vis));

pre[s] = s;
vis[s] = true;
que.push(s);

int p;
while(!que.empty())
{
    p = que.front();
    que.pop();
    for(int i=1; i<=M; ++i)
    {
        if(r[p][i]>0 && !vis[i])
        {
            pre[i] = p;
            vis[i] = true;
            if(i == t)  // 存在增广路径
                return true;
            que.push(i);
        }
    }
}
return false;

}

**但事实上并没有这么简单,上面所说的增广路还不完整**,比如说下面这个网络流模型。
[![2](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2012/01/2_thumb.jpg)](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2012/01/2.jpg)

我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路,这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。(图中的数字是容量)

[![3](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2012/01/3_thumb.jpg)](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2012/01/3.jpg)

这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了,我们再也找不到其他的增广路了,当前的流量是1。

但这个答案明显不是最大流,因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4,这样可以得到流量为2的流。

那么我们刚刚的算法问题在哪里呢?问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会,应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢?回溯搜索吗?那么我们的效率就上升到指数级了。

而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i),反向边也同样有它的容量。

我们直接来看它是如何解决的:

在第一次找到增广路之后,在把路上每一段的容量减少delta的同时,也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时,inc(c[y,x],delta)

我们来看刚才的例子,在找到1-2-3-4这条增广路之后,把容量修改成如下

[![4](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2012/01/4_thumb.jpg)](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2012/01/4.jpg)

这时再找增广路的时候,就会找到1-3-2-4这条可增广量,即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后,得到了最大流2。

[![5](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2012/01/5_thumb.jpg)](http://wutianqi-blog.b0.upaiyun.com/2012/01/5.jpg)

那么,这么做为什么会是对的呢?我来通俗的解释一下吧。

事实上,当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候,就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去,不走2-3这条路,而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。(有人问如果这里没有2-4怎么办,这时假如没有2-4这条路的话,最终这条增广路也不会存在,因为他根本不能走到汇点)同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1,反向流量1,等于没有流量。

这就是这个算法的精华部分,利用反向边,使程序有了一个后悔和改正的机会。而这个算法和我刚才给出的代码相比只多了一句话而已。

至此,最大流Edmond-Karp算法介绍完毕。




Edmond Karp算法具体实现(C/C++):


[code language="cpp"]
/**
 * Edmond Karp
 * Max Flow
 * by Tanky Woo @ www.wutianqi.com
 */

#include <iostream>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int msize = 205;


int N, M;   // N--路径数, M--结点数
int r[msize][msize];  //
int pre[msize];  // 记录结点i的前向结点为pre[i]
bool vis[msize]; // 记录结点i是否已访问

// 用BFS来判断从结点s到t的路径上是否还有delta
// 即判断s,t之间是否还有增广路径,若有,返回1
bool BFS(int s, int t)
{
    queue<int> que;
    memset(pre, -1, sizeof(pre));
    memset(vis, false, sizeof(vis));

    pre[s] = s;
    vis[s] = true;
    que.push(s);

    int p;
    while(!que.empty())
    {
        p = que.front();
        que.pop();
        for(int i=1; i<=M; ++i)
        {
            if(r[p][i]>0 && !vis[i])
            {
                pre[i] = p;
                vis[i] = true;
                if(i == t)  // 存在增广路径
                    return true;
                que.push(i);
            }
        }
    }
    return false;
}

int EK(int s, int t)
{
    int maxflow = 0, d;
    while(BFS(s, t))
    {
        d= INT_MAX;
        // 若有增广路径,则找出最小的delta
        for(int i=t; i!=s; i=pre[i])
            d = min(d, r[pre[i]][i]);
        // 这里是反向边,看讲解
        for(int i=t; i!=s; i=pre[i])
        {
            r[pre[i]][i] -= d;
            r[i][pre[i]] += d;
        }
        maxflow += d;
    }
    return maxflow;
}


int main()
{
    while(cin >> N >> M)
    {
        memset(r, 0, sizeof(r));
        int s, e, c;
        for(int i=0; i<N; ++i)
        {
            cin >> s >> e >> c;
            r[s][e] += c;   // 有重边时则加上c
        }

        cout << EK(1, M) << endl;
    }
    return 0;
}

:以上代码可直接套用HDOJ 1532 ( Drainage Ditches ) 和HDOJ 3549 (Flow Problem)。完毕

Date: 2012.1.19 @ Home By Tanky Woo