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背包之01背包、完全背包、多重背包详解 --- TankyWoo

31 Jul 2010
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背包之01背包、完全背包、多重背包详解

--- Tanky Woo(2010.07.31)

首先说下动态规划,动态规划这东西就和递归一样,只能找局部关系,若想全部列出来,是很难的,比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2,再把最后一层移动到3,最后再把其余的从2移动到3,这是一个直观的关系,但是想列举出来是很难的,也许当层数n=3时还可以模拟下,再大一些就不可能了,所以,诸如递归,动态规划之类的,不能细想,只能找局部关系。

hanoi

图1.汉诺塔图片

(引至杭电课件:DP最关键的就是状态,在DP时用到的数组时,也就是存储的每个状态的最优值,也就是记忆化搜索)

要了解背包,首先得清楚动态规划:

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤:

> > 1. 描述一个最优解的结构; > > > > 2. 递归地定义最优解的值; > > > > 3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值; > > > > 4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。 > >

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值,则步骤4可以省略。

背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包 在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

> > 当前状态→ 以前状态 > >

看了dd大牛的《背包九讲》,迷糊中带着一丝清醒,这里我也总结下01背包,完全背包,多重背包这三者的使用和区别,部分会引用dd大牛的《背包九讲》,如果有错,欢迎指出。 (www.wutianqi.com留言即可)

首先我们把三种情况放在一起来看:

> > 01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包, 每种物品均**只有一件。**第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 > > > > 完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有**无限件**可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 > > > > 多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,第i种物品**最多有n[i]件**可用。每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 > >

比较三个题目,会发现不同点在于每种背包的数量,01背包是每种只有一件,完全背包是每种无限件,而多重背包是每种有限件。


先来分析01背包

01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包,每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

> > ## f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} > >

把这个过程理解下:

在前i件物品放进容量v的背包时,它有两种情况

> > 情况一: 第i件不放进去,这时所得价值为:f[i-1][v] > > > > 情况二: 第i件放进去,这时所得价值为:f[i-1][v-c[i]]+w[i] > >

(第二种是什么意思?就是如果第i件放进去,那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品)

最后比较第一种与第二种所得价值的大小,哪种相对大,f[i][v]的值就是哪种。 (这里是重点,理解!)

这里是用二维数组存储的,可以把空间优化,用一维数组存储。

用f[0..v]表示,f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后,最后f[v]表示所求最大值。

这里f[v]就相当于二维数组的f[i][v]。那么,如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]?(重点!思考)

首先要知道,我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。

即:for i=1..N

现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值,而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值?

逆序

这就是关键! cpp for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

分析上面的代码:当内循环是逆序时,就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的!这里给大家一组测试数据: 测试数据: 10,3 3,4 4,5 5,6

01pack-1

图2: 01背包图(1)

这个图表画得很好,借此来分析:

C[v]从物品i=1开始,循环到物品3,期间,每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。

(请在草稿纸上自己画一画)

这里以一道题目来具体看看:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代码:http://www.wutianqi.com/?p=533

分析:

01pack-2

图2: 01背包图(2)

具体根据上面的解释以及我给出的代码分析。这题很基础,看懂上面的知识应该就会做了。


完全背包:

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。 完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出:

> > ## `f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}` > >

``

同样可以转换成一维数组来表示:

``伪代码如下:

for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

顺序

想必大家看出了和01背包的区别,这里的内循环是顺序的,而01背包是逆序的。

现在关键的是考虑:为何完全背包可以这么写?

> > 在次我们先来回忆下,01背包逆序的原因?是为了是max中的两项是前一状态值,这就对了。 那么这里,我们顺序写,这里的max中的两项当然就是当前状态的值了,为何? 因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时,f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值,这里我们要添加的不是前一个背包,而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。 > >

这里同样给大家一道题目:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

代码:http://www.wutianqi.com/?p=535


多重背包

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可,因为对于第i种物品有n[i]+1种策略:取0件,取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值,则有状态转移方程:

> > ## `f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}` > >

这里同样转换为01背包:

普通的转换对于数量较多时,则可能会超时,可以转换成二进制(暂时不了解,所以先不讲) 对于普通的。就是多了一个中间的循环,把j=0~bag[i],表示把第i中背包从取0件枚举到取bag[i]件。

给出一个例题:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

代码:http://www.wutianqi.com/?p=537


因为限于个人的能力,我只能讲出个大概,请大家具体还是好好看看dd大牛的《背包九讲》。

如果大家有问题或者资料里的内容有错误,可以留言给出,博客:http://www.wutianqi.com/

老版下载地址:

Word: http://download.csdn.net/source/2587577

最后更新:2012.02.22

这次更新变动较大,显示结构更为工整清晰,如果大家转载过我以前的版本,可以重新换成这个版本。