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母函数(Generating function)详解 --- TankyWoo

02 Aug 2010
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母函数(Generating function)详解

--- Tanky Woo

在数学中,某个序列的母函数(Generating function,又称生成函数)是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法

母函数可分为很多种,包括普通母函数指数母函数L级数贝尔级数狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:

> > 1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来” > > > > 2.“母函数的思想很简单 --- 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “ > >

我们首先来看下这个多项式乘法:

母函数图(1)

由此可以看出:

> > 1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。 > > > > 2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。 > > > > ……… > > > > n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体(只有1个)。 > >

进一步得到:

母函数图(2)

母函数的定义

对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:

母函数图(3)

称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数。

这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:

第一种:

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?

考虑用母函数来解决这个问题:

我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:

> > 1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示, > > > > 1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示, > > > > 1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示, > > > > 1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示, > >

上面这四个式子懂吗?

我们拿1+x^2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示砝码的重量!初始状态时,这里就是一个质量为2的砝码。

那么前面的1表示什么?按照上面的理解,1其实应该写为:1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。

所以这里1+1x^2 = 1x^0 + 1x^2,即表示2克的砝码有两种状态,不取或取,不取则为1x^0,取则为1*x^2

不知道大家理解没,我们这里结合前面那句话:

把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来

接着讨论上面的1+x^2,这里x前面的系数有什么意义?

这里的系数表示状态数(方案数)

1+x^2,也就是1x^0 + 1x^2,也就是上面说的不取2克砝码,此时有1种状态;或者取2克砝码,此时也有1种状态。(分析!)

所以,前面说的那句话的意义大家可以理解了吧?

几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)

例如右端有2^x^5 项,即称出5克的方案有2种:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。

故称出6克的方案数有2种,称出10克的方案数有1种 。


接着上面,接下来是第二种情况:

第二种:

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:

大家把这种情况和第一种比较有何区别?第一种每种是一个,而这里每种是无限的。

母函数图(4)

以展开后的x^4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4;

即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数":

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。

整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例,给出模板

#include 
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001; 
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量,保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];   
int main()
{   //int n,i,j,k;
    int nNum;   // 
    int i, j, k;

    while(cin >> nNum)
    {
        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
        {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
        {

            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
                for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
                {
                    c2[j+k] += c1[j];
                }
            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
            {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        cout << c1[nNum] << endl;
    }
    return 0;
}

我们来解释下上面标志的各个地方:(**********!!!重点!!!**********)

> > ① 、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1. > > > > ② 、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。 > > > > ③、j 从0到n遍历,这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量,(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误,大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3),j先指示的是1和x的系数,i=2执行完之后变为 (1+x+x^2+x^3)(1+x^3),这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。 > > > > ④ 、 k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。 > > > > ⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的。 > >

咱们赶快趁热打铁,来几道题目:

(相应题目解析均在相应的代码里分析)

  1. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码:http://www.wutianqi.com/?p=587

这题大家看看简单不?把上面的模板理解了,这题就是小Case!

看看这题:

  1. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码:http://www.wutianqi.com/?p=590

要说和前一题的区别,就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时(可以参考我的资料—《母函数详解》),把i<=nNum改成了ii<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=ii; Ok,说来说去还是套模板~~~

  1. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代码:http://www.wutianqi.com/?p=592

这题终于变化了一点,但是万变不离其中。

大家好好分析下,结合代码就会懂了。

  1. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代码:http://www.wutianqi.com/?p=594

还有一些题目,大家有时间自己做做:

HDOJ:1709,1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

(原创文章,欢迎各位转载,但是请不要任意删除文章中链接,请自觉尊重文章版权,违法必究,谢谢合作。Tanky Woo原创, www.WuTianQi.com)

附:

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數:

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2.Matrix67大牛那有篇文章:什么是生成函数:

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇,我这里的图片以及一些内容都引至那。


如果大家有问题或者资料里的内容有错误,可以留言给出,博客:http://www.wutianqi.com/

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最后更新:2012.02.24

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